Como resolver problemas de permutação passo a passo

Em Análise Combinatória, permutar significa organizar elementos em diferentes ordens. Sempre que você quiser saber de quantas maneiras é possível reorganizar todos os elementos de um grupo, está lidando com uma permutação.

O que é permutação?

Permutação é a quantidade de maneiras possíveis de dispor todos os elementos de um conjunto, sem repetir nenhum, mudando apenas a ordem.

Exemplo simples:

Imagine que você tem 3 letras: A, B e C. De quantas formas diferentes você pode organizá-las?

As possíveis ordens são:

• ABC – ACB – BAC – BCA – CAB – CBA

Ou seja, 6 formas diferentes.

Note que usamos todas as letras em cada caso, só mudamos a posição delas. Isso é uma permutação.

Como calcular permutações?

Para calcular o número de permutações de n elementos diferentes, usamos o fatorial:

Fórmula:

• P(????) = ????!

O símbolo "!" (fatorial) significa multiplicar o número por todos os seus antecessores positivos.

Por exemplo:

• 3! = 3 × 2 × 1 = 6
• 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
• 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

Exemplo prático:

Quantas maneiras diferentes podemos organizar as 4 letras da palavra “FATO”?

Temos 4 letras diferentes → usamos a fórmula:

• P(4) = 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24

Logo, existem 24 formas diferentes de organizar essas 4 letras.

Quando usar permutação?

Use a permutação quando:

• Todos os elementos forem diferentes entre si.
• Todos os elementos forem utilizados.
• A ordem dos elementos fizer diferença.

Observação: permutação com elementos repetidos

Se houver elementos repetidos, usamos uma fórmula ajustada:

• P(????₁, ????₂, ..., ????k) = ????! / (????₁! × ????₂! × ... × ????k!)

Onde:

• n é o total de elementos.
• ????₁, ????₂, ..., ????k são as quantidades de elementos repetidos.

Exemplo com repetição:

Quantas maneiras diferentes podemos organizar as letras da palavra “MAMA”?

Temos 4 letras no total: duas letras A e duas letras M.

Aplicando a fórmula:

• P = 4! / (2! × 2!) = (24) / (2 × 2) = 6